パスカルの三角形を奇数と偶数で塗り分けると、シェルピンスキーのギャスケットが現れる
公開日 ・フラクタルと数学
パスカルの三角形は、いちばん上に 1 を置き、その下の段には「左上と右上の数を足した数」を並べていく三角形です。両端はいつも 1 になります。
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
この三角形で、奇数のマスを黒、偶数のマスを白に塗ってみます。すると、思いがけない模様が現れます。
64 段を塗り分けた
大きな三角形の中に、白い逆三角形の穴が空き、残った 3 つの三角形の中にもまた穴が空いています。IFS Fractal Studio の図鑑にもあるシェルピンスキーのギャスケットと同じ形です。
段数を増やして 256 段にしても、同じ模様がより細かく続きます。
なぜこの形になるのか
奇数・偶数だけに注目すると、足し算は次のようになります。
- 奇数 ＋ 奇数 ＝ 偶数
- 奇数 ＋ 偶数 ＝ 奇数
- 偶数 ＋ 偶数 ＝ 偶数
つまり「上の 2 つのうち、ちょうど片方だけが奇数なら奇数」という規則で、段が下に伸びていきます。この規則だと、2 段、4 段、8 段…と 2 倍ごとに、上の三角形の模様が下の段の左右に 2 つ写し取られ、その間の逆三角形はすべて偶数になります。大きな三角形を「上・左下・右下の 3 つの縮小コピー」で作るギャスケットと、同じ作り方になっているのです。
奇数はどれくらいあるか
0 段目から順に数えて、奇数のマスがいくつあるかを数えました。
| 段数 | 数の個数 | 奇数の個数 | 奇数の割合 |
|---|---|---|---|
| 2 段 | 3 | 3 | 100.0% |
| 4 段 | 10 | 9 | 90.0% |
| 8 段 | 36 | 27 | 75.0% |
| 16 段 | 136 | 81 | 59.6% |
| 32 段 | 528 | 243 | 46.0% |
| 64 段 | 2,080 | 729 | 35.0% |
| 256 段 | 32,896 | 6,561 | 19.9% |
| 1,024 段 | 524,800 | 59,049 | 11.3% |
奇数の個数は 3、9、27、81…と、段数が 2 倍になるたびにちょうど 3 倍になっています。一方、マスの数は段数が 2 倍になるとおよそ 4 倍になるので、奇数の割合はどんどん減ります。1,024 段では、524,800 個の数のうち奇数は 59,049 個で、約 11.3% しかありません。段数を増やし続けると、割合は 0 に近づいていきます。
これは、ギャスケットの面積が 0 になることと同じです。
次元は log 3 ÷ log 2
「大きさを 2 倍にすると、中身が 3 倍になる」図形の次元は「log 3 ÷ log 2」です。IFS Fractal Studio のシミュレーターと同じ計算で、ギャスケットの次元を求めると 1.5850 になります。パスカルの三角形の奇数の数え方と、ちょうど対応しています。
1 段ごとの奇数の個数
1 つの段に奇数がいくつあるかにも、きれいな規則があります。k 段目の奇数の個数は、k を 2 進数で書いたときの 1 の個数を n として、2ⁿ 個です。
- 10 段目：10 は 2 進数で 1010、1 が 2 つあるので奇数は 4 個（1, 10, 45, 120, 210, 252, … のうち 1, 45, 45, 1）。
- 15 段目：15 は 1111、1 が 4 つあるので 16 個（すべての数が奇数）。
- 16 段目：16 は 10000、1 が 1 つなので 2 個（両端の 1 だけ）。
この規則が 0 段目から 1,024 段目まですべてで成り立つことを、計算で確かめました。
3 で割った余りで塗ると
偶数・奇数は「2 で割った余り」です。3 で割った余りで、3 で割り切れるマスを白、それ以外を黒に塗ると、別の模様が現れます。
今度は、三角形が 6 つの縮小コピーと 3 つの逆三角形の穴に分かれる形になりました。81 段では、3,321 個の数のうち、3 で割り切れない数は 1,296 個（6 の 4 乗）です。大きさを 3 倍にすると中身が 6 倍になるので、この模様の次元は log 6 ÷ log 3 ＝ 約 1.6309 です。
ギャスケットの作り方や変換式は、IFS Fractal Studio の「シェルピンスキーのギャスケット」で、点を打ちながら描いて確かめられます。次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で説明しています。
出典
- IFS Fractal Studio「シェルピンスキーのギャスケット（Sierpinski Gasket）とは？作り方・次元・変換式」
- IFS Fractal Studio「フラクタル次元の求め方（相似次元とボックスカウント法）」
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